THEOREMES DE MIALET-WANNER

 

Mots clés :

Triangle de Pascal, coefficients du binôme, nombres de Catalan, nombres de Fibonacci, nombres de Lucas, nombres premiers, nombres premiers jumeaux.

 

Les théorèmes de Mialet-Wanner sont le fruit de la collaboration de plusieurs décennies entre deux amateurs des Mathématiques, (amateur au sens de "qui aime"), Pierre Mialet, malheureusement disparu en 2011 et Jean-Claude Wanner. Nous ne savons pas si ces résultats sont originaux (à toutes fins utiles nous les avons déposés à l'Académie des Sciences). Nous comptons donc sur les internautes amateurs ou mathématiciens distingués pour nous signaler des antécédents.

 

Il est possible de généraliser les coefficients du binôme du Triangle de Pascal en remplaçant les deux 1 de la première ligne par deux entiers a et b (a > 0, b > 0 et a < b). Ignorant si ces coefficients avaient été déjà baptisés, nous les avons nommés Epicoefficients. Dans le cas particulier où a = 1 et b = 2 nous les avons nommés Métacoefficients.

 

 

Nous avons ainsi pu mettre en lumière quelques propriétés des Epicoefficients, dans lesquelles les Métacoefficients jouent un rôle particulier. Les nombres de Catalan, les nombres de la suite de Fibonacci, les nombres de Lucas (nombres de Fibonacci  dont les deux premiers sont 2 et 1) interviennent dans quelques unes de ces propriétés.

 

 

Voici l’un des théorèmes liant les Métacoefficients et les nombres de Catalan

 

 

 

En particulier nous avons pu généraliser le théorème connu Cp2p – 2 est divisible par p3 si p est premier (Cp2p est le coefficient du Triangle de la ligne 2p et de la colonne p) .

 

 

 

Les Métacoefficients Wpj-j  de la diagonale p-j, où p est premier, j le numéro de la colonne du triangle et p-j le numéro de la ligne du triangle,  sont divisibles par p. Nous avons nommé le quotient qui en résulte, coefficient de Mialet-Wanner.

 

 

 

Les propriétés des coefficients de Mialet-Wanner nous ont permis de dégager un critère caractérisant les nombres premier jumeaux (nombres premiers de la forme p et p+2).

 

 En outre quelques théorèmes complémentaires introduisent les Nombres de Mialet-Wanner combinant les coefficients de Mialet-Wanner et les Epicoefficients.

 

Nous avons enfin établi une relation linéaire calculable par itérations entre les nombres de Catalan et les nombres de Lucas.

 

 

 

 

 

Les énoncés des Théorèmes ainsi établis et leurs démonstrations sont disponibles en format pdf sur le site.